Dans le cas d'un espace métrique, on veut pouvoir démontrer qu'une boule ouverte est un ouvert, comment faire ? Nous commencerons par quelques brefs rappels, puis nous effectuerons la preuve
Rappels & Preuve : Soit E un ensemble et
$$ d : E →\mathbb{R}^+; $$ une application telle que pour tous x,y et z ∈ E les propriétés suivantes soient respectées:
$$ I) Séparation:\ \ d(x,y) = 0 <=> x = y$$
$$ II) Symétrie: \ \ d(x,y) = d(y,x) $$
$$ III)\ Inégalité\ triangulaire:\ d(x,z) \leq \ d(x,y) + d(y,z) $$
Alors E, muni de cette application forme un espace métrique, par un procédé similaire au cas vectoriel on peut définir les notions de boule (ouverte) de centre x et de rayon r > 0 que l'on note B(x,r) :
$$ B(x,r)\ = \{y \in E\ |\ d(y,x) < r \} $$
Il manque un dernier point, qu'est-ce qu'un ouvert dans le cas métrique ? Un ouvert de E est un sous-ensemble F ⊂ E voisinage de tous ses points c'est à dire contenant pour chaque point x ∈ F une boule B (x,r) ⊂ F avec r > 0. Démontrons correctement qu'une boule ouverte de centre x ∈ E et de rayon r > 0 est effectivement un ouvert de E. Si nous avons bien compris la définition, on est alors amené à chercher pour tout point y ∈ B(x,r) un réel α > 0 tel que B(y,α) ⊂ B(x,r). La suite de la preuve se fait par l'inégalité triangulaire, montrons en effet l'inclusion. Soit y un point quelconque de B(x,r) et posons :
$$ \alpha \ = r - d(y,x)$$
alors α > 0 (pourquoi ? Car tout simplement par définition y ∈ B(x;r) et donc inévitablement la distance de y à x est inférieure strictement à r) et nous avons par l'inégalité triangulaire que pour tout point z ∈ B(y,α):
$$ d(z,x) ≤ d(z,y) + d(y,x) < \alpha + d(y,x) = r - d(y,x) + d(y,x) = r $$ Donc nous venons de déduire que
$$ d(z,x) < r $$
ce qui veut dire que z appartient bien à B(x,r).